una moltiplicazione dopo l’altra

cortesia di Audrey Penven

Il mese scorso la bbc ha pubblicato un articolo che sostiene come la mancata comprensione del principio sottostante la crescita esponenziale (in inglese, exponential growth bias) renda le persone più maldisposte a conformarsi ai comportamenti indicati per evitare il contagio e, più in generale, ad accettare i provvedimenti attuati per contenere l’epidemia.

L’articolo è stato poi scopiazzato ripreso nei giorni seguenti, senza molta originalità, da diverse testate nazionali.

Sul Giornale per esempio si legge:

Una banca vi offre un piano che prevede la duplicazione del valore depositato ogni tre giorni. Il valore iniziale è di un dollaro. […] Pochi sarebbero in grado di dare la risposta esatta. Calcolatrice alla mano, devono passare 60 giorni affinché il saldo possa ammontare a 1.048.576 dollari. […]

Bene: il ritmo di contagio del coronavirus segue più o meno una logica simile, e pochi di noi riescono a rendersene conto. Proprio come nel caso della banca.

Ignorando le basi della cosiddetta matematica del contagio [cioè la crescita esponenziale], molti soggetti sottovalutano la pericolosità della diffusione del virus, non rispettano il distanziamento sociale, evitano di indossare le mascherine e dimenticano di lavarsi spesso le mani, come invece consigliano le autorità competenti.

Poi, nemmeno tre settimane dopo, all’inizio di settembre, un altro articolo dello stesso quotidiano presenta così alcuni degli ultimi numeri dell’epidemia, cercando di ridimensionare le preoccupazioni:

Cioè che [non convince], però, è il racconto mediatico di chi utilizza i dati “percentuali” e le letture ad effetto per raccontare la pandemia nel Belpaese. E concentriamoci su quel +62% di pazienti in rianimazione che, letto così, fa spavento. Per quanto l’incremento sembri abnorme, in numeri assoluti parliamo di un centinaio di persone in tutta Italia su 27.817 positivi e circa 60 milioni di abitanti. In una settimana (non in un giorno) i malati in rianimazione sono passati da 66 a 107, appunto +62%. Tanti o pochi? Ai posteri l’ardua sentenza. Di sicuro sono molti meno che nella fase più drammatica dell’epidemia. Il giorno in cui il premier Conte dava il via alle Fase 2, il 4 maggio, in terapia intensiva c’erano 1.479 persone. Più di 13 volte il dato odierno.

Peccato che l’argomentazione seguita sembra proprio dimostrare quanto sostenuto nel primo articolo: ovvero che chi non capisce il meccanismo della crescita esponenziale, che descrive numericamente la diffusione dei contagi in assenza di interventi, tende a sottovalutare la pericolosità dell’epidemia.

Non importano i valori assoluti, o quelli relativi rapportati alla dimensione della popolazione di riferimento. Ciò che contraddistingue una crescita esponenziale è che ogni valore si ottiene moltiplicando il precedente per uno stesso fattore maggiore di 1, o, detto altrimenti, a ogni passaggio il valore aumenta della stessa percentuale.

E’ esponenziale la sequenza 1, 2, 4, 8, 16, 32, dove ogni termine vale il doppio del precedente, e quindi l’aumento è del 100%, ma anche la sequenza 100, 120, 141, 173, 207, 249, dove l’aumento percentuale nel passare da un termine al seguente è stabilmente pari al 20% (100×1.2=120, 120×1.2=141, 141×1.2=173 e così via).

La cosa che si fa fatica a percepire di una sequenza esponenziale è che, mentre le variazioni percentuali rimangono costanti, la differenza in valore assoluto tra due termini successivi continua a crescere man mano che si procede nella sequenza! Riprendiamo il primo degli esempi precedenti, costruendo i primi dodici termini della sequenza: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048; in ogni coppia di numeri successivi il secondo è il doppio del primo, ma la differenza in valore assoluto tra i primi due è uno, quella tra gli ultimi due è (circa) mille!

E’ vero che oggi i numeri assoluti sono modesti, ma se i posti occupati in terapia intensiva diventassero per esempio 1000, un aumento del 62% in una settimana equivarrebbe a 620 nuovi ricoveri. E la cifra di 1000 non deve sembrare una soglia astrusa, perché, continuando al ritmo attuale, basterebbero meno di cinque settimane, cioè circa un mese: infatti 107×1.62×1.62 ×1.62 ×1.62 ×1.62 = 1116. Poco meno di “13 volte il dato odierno”!

Ho fatto riferimento proprio al dato numerico considerato dell’articolo, anche se nelle settimane precedenti la crescita è stata meno sostenuta; se non sbaglio, nell’ultimo mese il numero di posti occupati in terapia intensiva è solo (si fa per dire) triplicato. Ma ciò non toglie validità all’argomentazione precedente: triplicando più volte di fila, qualunque situazione diventa esplosiva.

La crescita esponenziale rappresenta solo un modello teorico di riferimento, semplificato, dove il tasso di crescita rimane costante. Nella realtà, come per tutti gli altri indicatori, la variazione percentuale del numero dei ricoveri in terapia intensiva varia continuamente, seguendo strettamente da quello dei contagi rilevati due-tre settimane prima (il tempo necessario perché le persone contagiate manifestino sintomi e, fortunatamente in piccola parte, si aggravino), il quale a sua volta dipende dall’insieme dei comportamenti individuali. Da un lato, la fine del periodo vacanziero, che con gli spostamenti sul territorio e l’allentamento delle attenzioni ha contribuito all’incremento dei contagi, porta a pensare che la situazione debba migliorare (anche se non subito, come appena spiegato); ma dall’altro, l’imminente riapertura delle scuole comporterà senz’altro una nuova quota di contagi, seppur difficile da quantificare, che nel tempo si tradurranno in altri ricoveri ospedalieri.

Lasciamo perdere, quindi, i piccoli numeri di oggi. Occorre essere consapevoli che se l’attuale trend prosegue nelle prossime settimane, saranno purtroppo necessarie nuove misure di contenimento.