un anno di esponenziale: il mito della crescita impetuosa

Articoli precedenti della serie:

0. prologo
1. non c’è senza tre
2. erre-con-ti
3. una questione lineare
4. attenzione all’approssimazione

Gli specialisti in Intelligenza Artificiale sono la professione più in crescita negli Stati Uniti. Negli ultimi quattro anni, la richiesta di queste figure è aumentata in media del 74% l’anno. Questo significa che per ogni 100 posizioni aperte nel 2016, ora ce ne sono 900 (le meraviglie della crescita esponenziale…).
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L’idea di una barriera di alberi che frena l’avanzata esponenziale del deserto, che dal 1920 ad oggi avrebbe esteso la sua superficie del 10 per cento
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Ecco due brani che riportano il valore iniziale e quello finale di una crescita che si afferma essere esponenziale. Sarà veramente così? Impossibile dirlo senza conoscere tutti i valori intermedi, ma prendiamo la cosa per buona. A parte ciò, i due fenomeni descritti hanno tassi di crescita molto diversi: un +74% all’anno per il primo, un +0.0954% il secondo (1.000954¹⁰⁰≈1.1).

Questa forte differenza mi suggerisce un nuovo tema da discutere: come cambia una crescita esponenziale in relazione alla sua velocità?

Per rispondere a questa domanda, mi conviene introdurre due nuove progressioni esponenziali, che prevedono a ogni passo un incremento percentuale del 2,43% e del 7,18%. Sono valori percentuali che ho scelto ad hoc in modo tale da raddoppiare e ottuplicare il valore iniziale in 30 passaggi (1.0243³⁰≈2 e 1.0718³⁰≈8).
Ecco i grafici delle due progressioni.

Ora, per una più agevole lettura, tracciamo nuovamente il grafico sostituendo la sequenza dei pallini corrispondenti ai valori di ciascuna delle due serie con un tratto curvilineo (vedremo poco più avanti che tale aggiustamento ha anche un significato più profondo). Dopodiché sovrapponiamo a ciascuna delle due curve la traettoria lineare, di nome e di fatto, che descrive l’approssimazione discussa nell’ultima puntata https://www.antoniorinaldi.it/un-anno-di-esponenziale-attenzione-allapprossimazione/.

Come si vede, la retta che approssima la prima curva esponenziale (in blu), si distacca più o meno sensibilmente a metà circa del tratto riportato sull’asse orizzontale, mentre quella che approssima la seconda (in rosso), si distacca molto presto, allontanandosi poi sempre di più.

Abbiamo ottenuto dunque una rappresentazione visiva della conclusione cui eravamo pervenuti via numerica: l’approssimazione lineare è migliore per la curva esponenziale che cresce più lentamente.

Ma c’è un altro fatto più interessante da indagare: come cambiano i grafici delle due progressioni aumentando il numero dei passaggi?
Vediamolo: partendo dal grafico iniziale (1), comprimiamolo orizzontalmente in modo da arrivare sull’asse orizzontale a conteggiare novanta passaggi (2) e quindi riportiamo i corrisponenti valori (3).

Mentre la curva rossa, più veloce, raggiunge l’altezza massima riportata nel grafico dopo trenta passaggi, com’era del resto anche nel grafico iniziale, quella blu, più lenta, ci arriva proprio dopo il nuovo numero di passaggi considerati, novanta.

Vale anche il viceversa: concentriamoci cioè su un numero minore di passaggi.
Partiamo ancora una volta dal grafico iniziale (1), quindi nascondiamo l’andamento delle curve dopo i primi dieci passaggi (2); infine dilatiamo orizzontalmente questo tratto iniziale in modo che occupi tutta la larghezza disponibile (3).

Ci sono due fatti interessanti da osservare: nella prima terna di grafici, la curva blu nel riquadro a destra appare identica a quella rossa nel riquadro a sinistra! mentre nella seconda terna di grafici, la curva rossa nel riquadro a destra è indistinguibile da quella blu nel riquadro a sinistra!

Non si tratta di una coincidenza fortuita: la curva blu del grafico iniziale dove i valori raddoppiano ogni trenta passaggi, arriva in novanta passaggi (tre volte trenta) a ottuplicare il suo valore iniziale (cioè a concludere tre raddoppi); e la curva rossa del grafico iniziale che ottuplica la sua altezza ogni trenta passaggi lo fa raddoppiandola ogni dieci.

In altre parole, una proprietà caratteristica di ogni progressione esponenziale è quella di raddoppiare (o triplica, o aumentare del 50%) il suo valore sempre nello stesso numero di passaggi. E dunque la differenza tra due distinte progressioni esponenziali sta solo nella lunghezza dell’intervallo corrispondente a un raddoppio.

Similmente, la stessa contrazione/dilatazione orizzontale che permette di far sovrapporre una curva esponenziale a un’altra si applica anche alle loro rette interpolanti. E pertanto l’ampiezza dell’intervallo per cui le giudichiamo buone o cattive dipende, ancora, dalla lunghezza dell’intervallo corrispondente a un raddoppio.

Ma c’è un’altra conseguenza, importantissima anch’essa anche se meno immediata.

Abbiamo visto che possiamo scegliere un numero diverso di valori da graficare. Per esempio, nei grafici precedenti, 10, 30 o 90.

Immaginiamo invece di ridefinire il numero di unità (passaggi) sull’asse orizzontale passando da 10 a 120; ciò equivale a suddividere ciascuna unità iniziale in dodici sottounità.
Se il grafico mostra una crescita esponenziale nel tempo, dove ciascuna delle unità iniziali corrisponde a un anno, allora ciascuna delle sottounità corrisponde a un mese.
Oppure, altro esempio. Se in un grafico i 10 valori di una progressione esponenziale si riferiscono a dati giornalieri, allora, suddividendo l’asse orizzontale del grafico in 240 sezioni al posto delle 10 iniziali, senz’alterare null’altro, passiamo dalla progressione esponenziale a cadenza giornaliera a quella a cadenza oraria. E se invece di 240 sezioni ne considerassimo 240×60=14.400, allora il grafico associerebbe i valori della curva esponenziale corrispondenti a ogni minuto dei primi 10 giorni. E potremmo andare avanti con i secondi.

In altre parole: se ogni passaggio corrisponde a una misura di qualche tipo (di solito temporale: un’ora, un giorno, un anno), allora possiamo passare dall’unità principale a un suo sottomultiplo, cambiando soltanto il tasso di incremento unitario. Per esempio, un raddoppio annuale corrisponde a un incremento mensile del 5.95% (perché 1.0595¹²=2), un raddoppio giornaliero a un incremento orario del 2.93% (perché 1.0293²⁴=2), un raddoppio orario a un incremento del 1.16% al minuto (perché 1.0116⁶⁰=2), e così via.

Quindi la scelta iniziale di sostituire i pallini (che definivano una sequenza “bucata”) con un tratto continuo deriva proprio dalla possibilità di immaginare che tra due valori successivi ne esistano infiniti altri. Quando la misura che definisce l’asse orizzontale è il tempo, questo è sempre possibile. Basta quindi conoscere il tempo di raddoppio per essere in grado di calcolare il valore di una crescita esponenziale in un qualunque istante.

Ricapitolando:

• l’unica caratteristica che distingue una crescita esponenziale da un’altra è la sua velocità, che si può misurare con l’intervallo di raddoppio;
• a parte questo, tutte le crescite esponenziali, lente, lentissime, veloci o velocissime, sono indistinguibili, cioè si comportano allo stesso modo;
• un fenomeno esponenziale può considerarsi continuo come lo scorrere del tempo o dello spazio.