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Nell’ultima puntata abbiamo visto che progressione lineare e progressione esponenziale sono profondamente diverse tra loro. Tuttavia, in qualche specifica situazione, la differenza a livello numerico può essere sottile. Il passo seguente, tratto da una raccolta di suggerimenti pubblicata proprio un anno fa, offre l’occasione ideale per discutere l’argomento.
Spesso il caldo eccessivo porta erroneamente ad impostare il frigorifero su temperature molto basse. Questa abitudine, tuttavia, comporta un aumento esponenziale del consumo energetico. Nel caso del frigorifero, la temperatura raccomandata è intorno ai 4°C: per ogni grado al di sotto il consumo sale del 5% e in ogni caso non sarebbe utile per la conservazione dei cibi che si congelerebbero. [fonte]
Ora, a chi non conosce il significato del termine esponenziale, può venire spontaneo calcolare come 1×5%=5%, 2×5%=10% e 3×5%=15% gli aumenti corrispondenti a 1, 2 e 3 gradi di differenza. Il che è equivalente a definire la sequenza di valori: 100%, 105%, 110%, 115%, e così via. In realtà un siffatta sequenza non è affatto esponenziale ma lineare, dato che sommiamo il 5% al consumo iniziale per ogni grado al di sotto di quello raccomandato.
Abbiamo imparato invece che una sequenza esponenziale comporta un calcolo moltiplicativo. Nel nostro caso, una differenza di 1, 2 e 3 gradi comporta un consumo pari al 105%, al 105% del 105% (cioè 105%×105%), e al 105% del 105% del 105% (cioè 105%×105%×105%) del valore iniziale.
Per capire cosa cambia numericamente passando dal primo al secondo schema, conviene eseguire le moltiplicazioni precedenti senza usare la calcolatrice, ma scrivendo prima 105% come 1.05=1+0.05 e applicando poi la regola per lo sviluppo delle potenze di un binomio.
Per un grado di differenza il risultato è immediato. Per 2 e 3 gradi di differenza otteniamo:
1.05×1.05=(1+0.05)²=1+2×0.05+0.05²≈1+2×0.05
dove abbiamo trascurato l’ultimo termine pari a 0.05²=0.0025, che essendo il quadrato di un numero molto piccolo assume un valore ancora più piccolo e dunque del tutto trascurabile; cioè l’aumento percentuale vale circa il 2×0.05=0.10=10%.
1.05×1.05×1.05=(1+0.05)³=1³+3×1²×0.05+3×1×0.05²+0.05³≈1+3×0.05 omettendo gli ultimi due addendi dato che, similmente a prima, moltiplicando 0.05 per sé stesso più volte si ottengono talmente piccoli da risultare irrilevanti; approssimativamente quindi l’aumento percentuale vale 3×0.05=0.15=15%.
In altre parole: a meno di qualche piccola approssimazione, gli incrementi dei consumi calcolati secondo il modello esponenziale corrispondono a quelli del modello lineare!
A questo punto potremmo essere portati a concludere che la differenza tra la crescita lineare e quella esponenziale sia cosa di poco conto. E in effetti è così, ma solo se ci limitiamo a un piccolo numero di passaggi.
Se infatti procedessimo con le moltiplicazioni l’approssimazione usata fin qui diventerebbe sempre più scadente.
Poniamo il caso di un aumento del 5% reiterato venti volte: Secondo l’approssimazione del modello esponenziale appena vista, che coincide con il modello lineare, otteniamo un raddoppio, dato che 1+20×0.05=1+1=2. In realtà, il valore effettivo del modello esponenziale supera di gran lunga il doppio, dato che 1.05²⁰≈2.65; cioè l’aumento del valore iniziale in termini percentuali non è del 100% ma del 165%.
Perché l’approssimazione non funziona più bene, o, in altre parole, perché modello lineare e modello esponenziale divergono?
In sostanza, perché nella crescita lineare il 5% si calcola sempre sul valore iniziale, mentre nella crescita esponenziale il 5% si calcola sull’ultimo valore, che a ogni passaggio si distanzia progressivamente da quello iniziale. La somma dei termini dello sviluppo della potenza del binomio omessi nell’approssimazione misura proprio questo distacco.
Nel caso del consumo del nostro frigorifero, non dobbiamo preoccuparci di questo disaccoppiamento, perché, come spiega il passo della citazione, non ha alcun senso diminuire la temperatura di più di 2-3 gradi, per cui l’approssimazione lineare funzione bene.
Ma in generale non è così. Quando il numero dei passaggi non è piccolo, o quando la percentuale di variazione non è piccola, allora modello lineare e modello esponenziale divergono precocemente, e quindi l’approssimazione che abbiamo descritto non fornisce più risultati accettabili.
Per la prima situazione abbiamo già visto un esempio numerico (il 5% reiterato 20 volte). Per la seconda, basta considerare due aumenti consecutivi del 50%. In una progressione lineare dobbiamo sommare due aumenti del 50%, ottenendo così 100%+2×50%=200% e quindi un raddoppio. In una progressione esponenziale invece, partendo sempre dal 100%, arriviamo al 150% (cioè una volta e mezza il valore iniziale) dopo il primo aumento e al 150% del 150% (cioè una volta e mezza il valore precedente) dopo il secondo aumento, cioè 1.5²=2.25=225%: un aumento del 125% rispetto al valore iniziale, ben più di un raddoppio. Ecco quindi che se invece del 5% consideriamo una variazione del 50%, bastano due passaggi per ottenere una discrepanza non indifferente nei valori finali.
Ricapitoliamo. All’inizio di una crescita lenta, la progressione esponenziale è all’incirca equivalente a quella lineare e quindi possiamo approssimare i valori della prima con quelli della seconda, che sono più facili da calcolare. Ma mano a mano che la crescita prosegue, i valori delle due progressioni si distaccano in misura sempre più rilevante.
Sappiamo anche che i fenomeni reali possono seguire l’una o l’altra legge in maniera imperfetta, perché la complessità del mondo col suo groviglio di interrelazioni produce delle inevitabili oscillazioni. Questo comportamento può ingannare qualcuno, facendogli pensare dopo poche osservazioni che un certo fenomeno evolva linearmente quando invece è strutturalmente esponenzialemente; oppure facendogli credere, dopo nuove, ulteriori osservazioni, che lo stesso fenomeno abbia mutato natura, passando da lineare a esponenziale.
Un simile errore può avere talvolta conseguenze disastrose. Come sottovalutare lo sviluppo di un’epidemia nella convinzione che i piccoli numeri iniziali descrivano, per le ragioni anzidette, una crescita lineare quando invece rappresentano l’esordio di una traettoria esponenziale che nel tempo è destinata a esplodere. Perché, riprendendo un mio passaggio dell’ultima puntata, un conto è il 50% di 10 (5), un conto il 50% di 1000 (500), un conto il 50% di 100000 (50000).