un anno di esponenziale: non c’è senza tre

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Si dice che una rondine non fa primavera. Ma allora quante rondini fanno primavera? Ecco, una domanda analoga può valere anche a proposito del termine esponenziale: quanti numeri occorrono per parlare di crescita esponenziale?

Non si tratta di una questione accademica, tutt’altro. Nel primo articolo di questa serie abbiamo visto che per esponenziale si intende un cambiamento repentino e sostenuto, oppure percentualmente costante, ma che le due interpretazioni, risultando indipendenti l’una dall’altra, possono ingenerare confusione. Discutere del numero dei dati che articolisti e commentatori presentano come prova di uno sviluppo esponenziale è la maggior parte delle volte l’indicatore più utile per distinguere tra le due interpretazioni, ma non solo: aiuta a capire se davvero certe cifre meritano un’attenzione particolare, al di là degli appellativi con cui sono descritte.

Ecco a titolo di esempio gli estratti di alcune notizie pubblicate lo scorso anno.

La crescita [del giocatore] è esponenziale: La media dei palloni giocati è praticamente raddoppiata rispetto alla scorsa stagione (da 37,8 a 66,3), mentre le occasioni create sono passate da 0,6 a 1,3. [fonte]

chiuso il 2020 con una crescita dei ricavi esponenziale, +844%, passando da 635mila euro a 5,99 milioni di euro. [fonte]

In particolare in Europa, il mercato delle biciclette elettriche sta crescendo in modo esponenziale, con un 58% di crescita tra il 2019 e il 2020. [fonte]

la Corte rileva […] l’aumento esponenziale dei debiti verso fornitori, da 6.303.742 di euro (2018) a 22.026.571 di euro (2019) [fonte]

Boom di tesseramenti […]Una crescita esponenziale di oltre il 75% rispetto ai numeri dell’anno precedente [fonte]

Il 2020 verrà ricordato certamente per l’emergenza sanitaria, ma anche per gli incidenti legati alla sicurezza informatica, visto che gli attacchi sono aumentati in maniera esponenziale del 40% rispetto al 2019 [fonte]

Sono tutti casi in cui si riportano (o si sottintendono) due valori successivi insieme alla percentuale che indica la variazione in termini relativi intervenuta tra i due.

In tali fattispecie non dobbiamo attribuire al termine esponenziale il significato proprio matematico perché, in base alla definizione che ne abbiamo dato, la percentuale deve rimanere costante passando da ciascun valore al successivo. Ma dato che con due soli valori consecutivi possiamo calcolare una sola percentuale, non ha senso ritenerla costante!

In ciascuna di queste notizie quindi dobbiamo interpretare il termine esponenziale in maniera colloquiale, ovvero come un modo un po’ retorico e roboante per sottolineare una differenza tra due cifre molto rilevante. Ma quando una variazione percentuale diventa molto rilevante? Quando supera il 10%? il 50? o il 100%? Dato che un caso ordinario non fa notizia, possiamo ipotizzare che un giornalista definisca esponenziale una variazione di molto superiore a quella di casi analoghi. Per esempio, nel caso di un fatturato, rispetto a quella delle altre aziende del settore o a quella degli anni precedenti; nel caso di un giocatore, rispetto a quella di altri giocatori (dello stesso ruolo o della stessa squadra) o a quella dello stesso giocatore nei campionati trascorsi; e così via. Una variazione dunque sarebbe esponenziale in rapporto ad altre, contestuali, di altri soggetti, oppure antecedenti, dello stesso soggetto.

Ma in quest’ultimo caso il significato colloquiale di esponenziale arriva a contraddire quello formale: se infatti l’ultima variazione percentuale si discosta molto dalle precedenti, allora vuol dire che non è rimasta costante!.

A partire da tre valori consecutivi invece abbiamo, o possiamo calcolare, più percentuali: una a indicare la variazione intervenuta dal primo al secondo valore, una a indicare la variazione intervenuta dal secondo al terzo valore, e così via. Possiamo quindi parlare di sequenza esponenziale in senso matematico. Almeno in teoria, perché anche in questi casi, che pure sui media sono molto meno frequenti di quelli dove si considerano due soli numeri consecutivi (forse perché i numeri affaticano chi li deve citare, e anche chi li deve digerire), sembra prevalere l’interpretazione informale.

Eccone alcuni esempi, sempre tratti da notizie pubblicate nel corso del 2021.

La società […] ha riportato ricavi per 2,1 miliardi di dollari […], con un incremento esponenziale (+83%) rispetto al 2020 e con un +3,6% sul 2019. [fonte]

Lo scorso mese, gli aeroporti di Pisa e Firenze hanno registrato un traffico di 210.547 passeggeri, evidenziando un’esponenziale crescita rispetto ai 75.238 passeggeri del mese di maggio e ai 38.928 di quelli del mese di aprile. [fonte]

Bilancio positivo a 3 anni dalla scommessa sul nocciolo in Umbria grazie a una crescita esponenziale della coltivazione: 40 ettari il primo anno, 110 nel 2019, 350 del 2020 [fonte]

Nonostante il Covid e l’interruzione delle attività per tre mesi, nel 2020, […], sono state infatti costituite ben 28 società, con una crescita esponenziale nell’ultimo triennio (nel 2018 erano solo 6, raddoppiatesi nel 2019, fino ad arrivare ai numeri attuali). [fonte]

Nei primi due passi le due percentuali (citate o sottintese) sono molto diverse tra di loro, quindi ancora non si può parlare di sviluppo esponenziale in senso matematico. Il primo esempio poi è particolarmente plateale, perché si passa da più dell’80% a un sostanziale pareggio che se rende eclatante la prima variazione, rende anche molto deludente la seconda. Nel secondo esempio invece a un raddoppio dal primo al secondo mese segue un triplicamento dal secondo al terzo mese. La crescita diventa ancora più sostenuta, ma proprio per questo non è costante.

Negli ultimi due esempi invece le variazioni percentuali sono molto simili tra loro: vicine al +200% nel primo e al +100% nel secondo.
Molto simili anche se non esattamente uguali. Possiamo comunque tranquillamente parlare di sequenza esponenziale in entrambi i casi, senza paura di abusare del termine, perché dobbiamo aspettarci che il caso concreto non segua perfettamente il modello astratto, e accettare quindi un certo margine di approssimazione.
Si tratta peraltro di due situazioni degne di nota perché valgono entrambe le interpretazioni del termine esponenziale: quella colloquiale, per la rilevanza variazioni percentuali annuali, e quella formale, per la costanza delle variazioni percentuali annuali. Anche se forse gli autori degli articoli hanno fatto riferimento solo all’una o all’altra.

Ricapitolando: quando leggiamo di una crescita esponenziale limitata a due soli valori, è bene chiedersi: rispetto a cosa? perché capire i termini del confronto aiuta a dare un senso alla notizia; mentre a partire da tre valori conviene proprio ignorare l’aggettivo con cui viene descritta la sequenza, e valutare i numeri di testa propria!