Quanti contagi si sviluppano in un assembramento, ma anche, più in generale, in una riunione di parenti, amici, o colleghi?
Dimentichiamoci per un momento della parola assembramento, che in questo contesto a qualcuno suggerirebbe di rispondere: tanti. Una risposta più generale, ma non generica, è: dipende. Infatti dipende da tanti elementi: di quante persone stiamo parlando, di quando, quanto e come stanno vicine, eccetera.
Possiamo allora affrontare il problema più formalmente, costruendo un modello, che sia insieme semplice e flessibile in modo da contemplare differenti scenari, e che ci permetta, attraverso il calcolo delle probabilità, di arrivare a dare una risposta plausibile alla domanda iniziale.
Avvertenza: questo è un articolo tecnico, scritto per i cultori di calcolo delle probabilità. Invito chi è interessato a una esposizione di livello divulgativo dello stesso argomento a leggere il mio articolo successivo.
Consideriamo dunque un gruppo di $n$ persone, e supponiamo che:
- per ciascuna di esse, la probabilità di essere infetti sia uguale a $p$, indipendentemente dallo stato delle altre;
- per ciascuna persona non infetta, la probabilità di entrare in contatto con una data persona infetta e di rimanerne contagiata sia uguale a $r$, indipendentemente da ciò che succede alle altre.
In base alle assunzioni fatte, il numero di persone infette tra le $n$ considerate si distribuisce come una variabile binomiale $X$ di parametri $n$ e $p$:
$$X\sim Bin(n,p)$$
e, condizionatamente al numero degli infetti, il numero di persone contagiate si distribuisce come una binomiale $Y$ di parametri $n-x$ e $1-(1-r)^x$:
$$Y\sim Bin(n-x,1-(1-r)^x)$$ dato che la probabilità di non infettarsi in presenza di $x$ persone infette vale $(1-r)^x$
Possiamo così dapprima calcolare il valore atteso del numero di contagiati $Y$ quando il numero di infetti è $x$:
$$\begin{aligned}
E[Y|x]&=(n-x)[1-(1-r)^x]\\
&\simeq (n-x)rx
\end{aligned}$$
dove abbiamo fatto ricorso all’approssimazione $(1-r)^x\simeq 1-rx$, valida per valori piccoli di $r$.
Dopodiché possiamo calcolare quanto vale il numero atteso di contagi $Y$ al variare di $x$:
$$\begin{aligned}E[Y]&=E[E[Y|X]]\\
&\simeq E[(n-X)rX]\\
&=E[nrX-rX^2]\\
&=n^2pr-r[n(n-1)p^2+np]\\
&=n^2pr-n^2p^2r+np^2r-npr\\
&=n^2pr(1-p)-npr(1-p)\\
&=n(n-1)p(1-p)r
\end{aligned}$$
Nel contesto dell’epidemia di covid che stiamo vivendo, la probabilità $p$ di essere infetti in un dato istante può ricavarsi dalla frequenza dei positivi nella popolazione, e quindi può assumersi abbastanza piccola, diciamo con un ordine di grandezza compreso tra lo 0,1% e l’1%, mentre per la probabilità $r$ di infettare qualcun altro è ragionevole pensare a valori più grandi. Per alcune situazioni si può azzardare un 10%, per quelle estreme anche il 50% (si pensi per esempio a un ambiente chiuso dove i presenti parlano ad alta voce senza portare la mascherina).
In tali casi però l’approssimazione $(1-r)^x\simeq 1-rx$ non risulta soddisfacente, potendo addirittura diventare assurda quando $rx>1$.
Conviene quindi svolgere qualche calcolo in più verificando quanto vale il numero medio dei contagi senza ricorrere all’approssimazione precedente:
$$\begin{aligned}
E[Y]&=E[E[Y|X]]\\
&= E[(n-X)[1-(1-r)^X]]\\
&= n-E[X]-nE[(1-r)^X]+E[X(1-r)^X]\\
&= n-np-n[p(1-r)+(1-p)]^n+np(1-r)[p(1-r)+(1-p)]^{n-1}\\
&= n-np-n(1-pr)^n+np(1-r)(1-pr)^{n-1}\\
&= n(1-p)+n(1-pr)^{n-1}[p(1-r)-1+pr]\\
&= n(1-p)-n(1-pr)^{n-1}(1-p)\\
&= n(1-p)[1-(1-pr)^{n-1}]\end{aligned}$$
Questa espressione però si può semplificare molto ricorrendo di nuovo all’approssimazione $(1-pr)^{n-1}\simeq 1-(n-1)pr$, che diversamente da prima non crea alcun problema perché in tutti gli scenari più frequenti $pr$, essendo $pr\leq p$, è molto piccolo, ottenendo così:
$$\begin{aligned}
E[Y]\simeq n(n-1)p(1-p)r
\end{aligned}$$
risultato che, curiosamente, coincide con il precedente, nel quale, evidentemente, il parametro $p$ nel mediare rispetto a $X$ ha assorbito l’errore rispetto al solo parametro $r$.
E’ interessante osservare che il numero medio di contagi è proporzionale sia alla frequenza $p$ degli infetti che a quella $1-p$ dei suscettibili (ovvero di coloro che non sono infetti ma possono diventarlo), e poi anche alla probabilità $r$ di venire in contatto con un infetto e rimanerne contagiati, e al fattore $n(n-1)$ che corrisponde al numero di scambi possibili tra coppie di persone presenti nell’insieme considerato.
Quest’ultimo fattore di secondo grado indica che la relazione che lega il numero di persone al numero atteso di contagi è all’incirca proporzionalmente quadratica. Cioè, raddoppiando il numero di persone, il numero di contagi (poco più che) quadruplica; decuplicando il numero di persone, il numero di contagi (poco più che) centuplica.
Concludiamo con un semplice esempio numerico. Poniamo $p=0.01$ e $r=0.1$. Con $n=10$, il numero medio di contagi è $0.0891$. Con $n=100$, ovvero dieci volte più grande, il numero medio di contagi diventa $9,801$, cioè 110 volte più grande. Possiamo anche calcolare quante persone considerare per avere in media un contagio: siccome $p(1-p)r=0.00099$, deve essere $n=33$, cui corrisponde $E[Y]\simeq 1.045$.