la legge dei contagi

Se quest’anno dimezzo il numero di chilometri percorsi in automobile, mi aspetto di ridurre della metà anche le mie spese per il carburante. In una città che ha il doppio degli abitanti della nostra, senz’avere altre informazioni, è ragionevole pensare che ci sia all’incirca anche il numero doppio di campi da tennis. Aumentando di una qualunque percentuale il tempo trascorso su una piattaforma musicale o video, è naturale osservare un analogo incremento anche nel volume dei dati relativi allo straming.

Sono tutti esempi della relazione di proporzionalità lineare (o diretta), che è la più semplice e fors’anche la più diffusa. Ma non vale sempre e comunque. In precedenza per esempio ho spiegato perché può succedere che con il 5% dei treni che arrivano in ritardo, il 95% dei passeggeri lamenti l’assenza di puntualità, o perché con il 10% dei cittadini che usano l’app Immuni è normale che solo l’1% delle segnalazioni di positività sia riconducibile a essa.

Anche per i contagi in un assembramento, o più in generale in un qualunque gruppo di persone, che sia una classe di studenti, una tavolata di commensali, una riunione di colleghi, al crescere del numero di persone presenti, cresce anche il numero atteso di contagi. Rimane da capire quale tipo di proporzionalità leghi le due grandezze; ovvero se valga anche in questo caso la legge di proporzionalità lineare, come nei primi esempi, oppure no, come negli ultimi.

C’è un classico problema abbastanza noto che può aiutare a rispondere alla domanda. Quante strette di mano si hanno tra dieci persone che si incrontrano per la prima volta?

Dunque, siccome ciascuna delle dieci persone deve stringere la mano alle altre nove, occorre moltiplicare dieci per nove. Tuttavia così facendo contiamo due volte le strette di mano tra due stesse persone: per esempio, quella tra Aldo e Bruno e quella tra Bruno e Aldo. Quindi il risultato della moltiplicazione precedente va diviso per due. In conclusione, le strette di mano sono 10×9:2=45.

In generale, con n persone, il numero di strette di mano è n×(n-1):2. Graficamente, il risultato può essere interpretato come il numero di linee che in ciascuno degli schemi in figura, detto grafo, uniscono ogni possibile coppia di pallini. Ogni pallino indica una persona, ogni linea una diversa stretta di mano tra due persone.

Ora, se al posto delle strette di mano considerassimo una qualunque altro tipo di contatto, come il soffermarsi a parlare, il numero di rapporti bilaterali rimarrebbe comunque lo stesso. E dato che ciascuno di questi rapporti rappresenta un potenziale contagio, il numero medio dei contagi in un gruppo di n persone risulta proporzionale a n×(n-1).

Per capire la portata di questo risultato, calcoliamo come varia il numero previsto di contagi quando si raddoppia la numerosità dell’insieme di persone considerate. Così, per esempio, rapportando il numero atteso di contagi in un gruppo di 10 persone a quello in un gruppo di 5 persone si ottiene 20×19:(10×9) = 2×9/4 ovvero 4½; per gruppi di dimensione maggiore il valore del rapporto diminuirebbe via via, rimanendo comunque sempre sopra la soglia di 4.

Si potrebbe obiettare che in una folla di cento o mille persone non è che ciascun soggetto entra in contatto diretto con tutti gli altri novantanove, o novecentonovantanove. Tuttavia si può dimostrare che lo stesso risultato vale se al posto di considerare tutti i possibili collegamenti si assume che ogni persona abbia rapporti con una qualunque percentuale fissa, per esempio il 10% o il 20%, delle altre persone del gruppo.

Dunque, ricapitolando, se il numero di persone raddoppia, il numero previsto di contagi (poco più che) quadruplica; se decuplica, il numero previsto di contagi (poco più che) centuplica. Le due grandezze sono quindi legate da una legge di proporzionalità all’incirca quadratica.

Ecco perché gli assembramenti sono tanto pericolosi: il numero dei contagi cresce più velocemente del numero di persone che compongono l’insieme considerato, e tanto più velocemente quanto più è grande quest’ultimo.