mille lucciole per lanterne

cortesia di Robert Anasch

Coronavirus, il mistero di Ferrera paese senza contagi. “Venite a studiarci”
Mille abitanti in provincia di Pavia, nessuno positivo. Per il sindaco un’occasione: “Analizzate il sangue dei residenti”. Ma dalla Regione è arrivato il no.

da la Repubblica, 30 marzo 2020

Purtroppo il sindaco ha preso una grossa cantonata. Meglio sia finita così, anche se il rifiuto a indagini sembra dettato più da questioni burocratiche che dalla reale comprensione del caso.

Quando ho letto di un paese di soli mille abitanti, ho pensato subito a un artefatto statistico. Più precisamente, al prevedibile effetto della legge secondo cui un insieme di piccoli gruppi presenta maggiore variabilità relativa di un insieme di grandi gruppi.

Vediamo di spiegare il concetto, che è più semplice da illustrare che da enunciare, con un esperimento ideale.

Supponiamo di avere un barattolo colmo di caramelle per la metà gialle e per la metà rosse, mescolate tra loro, simile a quello dell’immagine in copertina, ma di capacità illimitata, e di provare a svuotarlo un po’ alla volta.

Con un minuscolo cucchiaino, possiamo togliere due caramelle per volta; con un cucchiaio grande, dieci caramelle per volta; con una paletta, venti caramelle per volta.

Anche se mediamente la composizione delle caramelle estratte a ogni colpo rispecchia quella del barattolo, non tutte le singole manciate di caramelle conterranno una metà di caramelle gialle e l’altra metà rosse.

Consideriamo per esempio il caso estremo in cui nessuna delle caramelle estratte è gialla (o rossa): dato che a ogni rimozione si ottiene una caramella gialla (o rossa) con probabilità 1/2, tale evento si verifica mediamente il 25% delle volte che si usa il cucchiaio piccolo ((½)²), lo 0,1% delle volte che si usa il cucchiaio grande ((½)¹⁰), lo 0,0001% delle volte che si usa la paletta ((½)²⁰).

Dunque, tanto più è piccolo il numero di caramelle che togliamo dal barattolo, tanto più facile diventa osservare un caso estremo, come quello in cui tutte le caramelle sono dello stesso colore.

Le conclusioni di questo esperimento si possono riportare, ovviamente con le opportune correzioni, a contesti e numeri diversi, per spiegare una pluralità di fenomeni.

Per esempio, in ambito sportivo, è meno improbabile che una squadra sfavorita vinca un torneo a eliminazione diretta piuttosto che un campionato, perché nel primo caso il numero di partite disputate (ovvero il numero di caramelle) è molto più basso che nel secondo, e in una singola partita può succedere che i rapporti di forza (ovvero la composizione di caramelle nel barattolo) vengano sovvertiti. Oppure, nelle tornate elettorali succede di frequente che le percentuali di affluenza più alte e più basse vengano registrate in comuni di piccole dimensioni (come si evince dal grafico di un mio precedente intervento).

Lo stesso succede nel presente caso: se si compilasse la classifica dei comuni lombardi per percentuale di contagiati, ai primi e gli ultimi posti vedremmo una sfilza di piccoli comuni. Tanto da rendere ingenuo pensare che uno o anche più paesi di mille abitanti senza contagi (ufficiali, peraltro) rappresentino un evento talmente eccezionale da meritare approfondimenti scientifici.

Possiamo fare anche un calcolo più specifico. Recita l’articolo:

Stando alla statistica lombarda a Ferrera di positivi ce ne dovrebbero essere 4, quasi 5. In tutta la regione con 10 milioni di abitanti ci sono infatti oltre 42 mila casi di contagio.

Stando a questi numeri, la probabilità di osservare una persona contagiata è dello 0,42% e dunque quella di osservare una persona sana del 99,58%. Se si assume come ho fatto pochi giorni fa che le osservazioni sono indipendenti, la probabilità di avere 1099 persone sane è pari a 0.9958¹⁰⁹⁹ ovvero circa l’1%. Continuando a ragionare come nell’articolo, dato che in Lombardia ci sono più di 300 comuni sotto i mille abitanti, ci si dovrebbe attendere almeno 3 casi come quello di Ferrera. Il che è tutto dire.