lo strano caso della lotteria italia 2020


Sullo strano caso di Ferno, dove sono stati assegnati tre premi di terza categoria della Lotteria Italia da 20mila euro l’uno, il Codacons ha deciso di vederci chiaro, e presenta oggi una formale istanza ai Monopoli di Stato e alla Guardia di Finanza affinché sia sospesa l’aggiudicazione dei premi in attesa delle dovute verifiche.

Nel mirino dell’associazione i numeri dei biglietti vincenti che risultano pressoché consecutivi: P474343, P474346, P474348. Un caso che – secondo le leggi della probabilità [i calcoli di un esperto] – può verificarsi una volta su 2,6 miliardi di miliardi

da AgenPress.it, 8 gennaio 2020

Mi sono permesso di ritoccare il passo citato perché il risultato dichiarato dall’esperto interpellato dal Codacons è frutto di un calcolo grossolanamente sbagliato e ho giudicato fuori luogo avallarlo richiamando le leggi della probabilità.

Eppure il calcolo corretto non è tanto più complicato, e vorrei qui di seguito descriverne i passaggi. L’unica legge importante da conoscere è quella per cui la probabilità di una combinazione di eventi (in questo caso, una sequenza di estrazioni) si ottiene moltiplicando le probabilità di ciascun singolo evento (in questo caso, ciascuna singola estrazione).

Ogni biglietto della lotteria è identificato da un numero di serie composto da una lettera e sei cifre. I biglietti venduti quest’anno per la Lotteria Italia ammontano a 6,7 milioni. Pertanto, se chiamiamo carnet un blocco di 10 biglietti i cui numeri di serie differiscono solo per la cifra finale (scrivendo per esempio P47434* per indicare il carnet dei tre biglietti vincenti quasi consecutivi), allora il numero di carnet è pari a 9,7 milioni : 10 = 670mila.

Supponiamo per semplicità che nessun carnet sia rimasto parzialmente invenduto. Allora, per la legge della moltiplicazione, la probabilità di estrarre tre numeri di serie dello stesso carnet si ottiene calcolando 10/6.700.000 × 9/6.699.999 × 8/6.699.998 (perché a ogni estrazione il carnet perde un biglietto), cioè circa 0,418 miliardi di miliardi.

Questo sembra essere il calcolo fatto dall’esperto del Codacons, che fin qui segue la stessa falsariga di quello che ho descritto per discutere un altro caso di cronaca. Uso un termine dubitativo perché l’articolo presenta qualche imprecisione e un’omissione che non mi permette di ricostruire esattamente il passo mancante. La differenza tra il valore precedente e quello dichiarato dall’esperto dipende sostanzialmente dall’avere considerato 2 milioni di carnet anziché 670mila e dall’avere supposto che lo stesso biglietto potesse venire estratto due volte (per cui nel precedente calcolo i numeratori e i denominatori delle frazioni sarebbero rimasti sempre gli stessi).

Ma questo calcolo è incompleto: ci sono tre imperdonabili dimenticanze.

Per cominciare, i tre numeri di serie dello stesso carnet non sono gli unici estratti; in tutto i biglietti vincenti sono 205. Pertanto, sempre per la legge della moltiplicazione, la probabilità dell’intera estrazione si ottiene moltiplicando il valore precedente per il prodotto delle probabilità di estrarre un qualunque numero di serie di un carnet diverso per ciascuna delle successive 205-3 = 202 estrazioni, cioè per 6.699.990/6.699.997 × 6.699.989/6.699.996 × 6.699.988/6.699.995 e così via fino a contare 202 fattori frazionari. Poiché comunque questo prodotto vale quasi 1 (per la precisione 0,9998), questa correzione non altera in misura sensibile il risultato precedente.

Non sono invece assolutamente trascurabili le altre due dimenticanze.

Primo. La probabilità appena calcolata si riferisce all’estrazione di tre biglietti dello stesso, specifico carnet, mentre l’evento da considerare è l’estrazione di tre biglietti di uno stesso qualunque carnet (in verità, tre o più biglietti, ma la differenza è numericamente ininfluente). Infatti, ciò che rende l’estrazione insolita non è l’avere tre biglietti vincetti del carnet P47434*, perché sarebbe stata ugualmente insolita anche l’estrazione di tre biglietti vincenti dal carnet P12345*, o dal carnet A00000*. La probabilità precedente va quindi moltiplicata per il numero totale di carnet venduti: e 1 su 0,418 miliardi di miliardi per 670mila dà 1 su 623mila milioni. Qualcuno potrebbe obiettare che così facendo si conteggiano più volte le estrazioni in cui sono presenti tre biglietti di due o più carnet diversi, ma a livello numerico le probabilità di simili estrazioni sono così microscopiche da risultare irrilevanti.

Secondo. La probabilità appena calcolata assume che i tre biglietti dello stesso carnet siano i primi tre estratti, mentre occorre considerare che, come peraltro è successo, essi possano essere estratti in una qualunque posizione nella sequenza delle 205 estrazioni dei biglietti vincenti. I modi di scegliere tre posizioni qualunque in una tale sequenza sono pari a (205 × 204 × 203) / (3 × 2) = 1.414.910, e moltiplicando la probabilità precedente per tale valore si ottiene il risultato finale di 1 su 441mila circa.

Una probabilità certamente piccolissima, ma più di mille miliardi maggiore di quella calcolata dall’esperto del Codacons!

Ora però, dopo i calcoli, viene la domanda più importante: che significato attribuire a questo insolito risultato numerico? Nella ricerca scientifica ogni probabilità sotto il 5%, cioè 1 su 20, o, in misura più conservativa, sotto l’1 per mille, cioè 1 su 1000, è motivo per mettere in discussione il modello rispetto a cui tale probabilità è stata calcolata. In teoria, dunque, un valore piccolo come quello trovato rappresenta un valido motivo per nutrire qualche dubbio sulla procedura di estrazione. Ma nella ricerca scientifica c’è sempre un modello alternativo contrapposto a quello sotto esame. Nel caso in questione sinceramente faccio fatica a specificare una ipotesi alternativa credibile che spieghi in maniera più convincente il risultato osservato. Pensare a un’estrazione truccata in una lotteria milionaria, per lucrare tre premi da 20mila euro mi sembra miserabilmente eccessivo. Ho anche raccolto ed esaminato i numeri di serie dei 205 biglietti vincenti, verificando che risultano sovrarappresentati, cioè significativamente più frequenti, i biglietti con la sua lettera e le stesse cifre del carnet sospetto, ma si tratta comunque di una evidenza troppo debole per supportare l’ipotesi di una qualche imperfezione nelle palline (se di palline si tratta) impiegate nell’estrazione. Dopodiché ho rinunciato, nel timore di rimanere vittima, più o meno (in)consapevolmente, di un eccesso di apofenia. Concludo allora nel modo più banale. Può essere che non ce ne sia alcuno, di significato. Potrebbe semplicemente trattarsi di un evento estremamente improbabile ma comunque non impossibile, che è banalmente capitato, e basta.

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