In ambito sportivo dicesi biscotto una combine, a volte concordata preventivamente a volte silenziosa e nata sul campo da un atteggiamento disinteressato nei confronti del gioco, per mutuo interesse o per escludere una terza squadra da qualsiasi possibile beneficio.
(Stefano Benzi su Yahoo! Eurosport)
In vista dell’ultima partita della fase a gironi, non si fa che parlare di biscotto, il pareggio 2-2 che farebbe comodo a Spagna e Croazia ed eliminerebbe l’Italia a prescindere del risultato della sua partita con l’Irlanda. C’è chi lo esclude, chi lo da per scontato, mentre da più parti si registra che le quote dei bookmakers sul risultato sospetto sono particolarmente basse. Pur essendo emotivamente distante dalla questione sportiva, mi interessa l’aspetto matematico del problema. Si può misurare la probabilità del biscotto?
Un modo per rispondere alla domanda è quello di confrontare la probabilità del risultato 2-2 calcolata in base alle quotazioni dei bookmaker con quella ricavata da qualche simulazione che escluda il caso di una combine.
A tal fine ho preso spunto (a man bassa) dal modello proposto dai due ricercatori norvegesi Magne Aldrin e Anders Løland per l’intero torneo degli Europei 2012 e descritto sulla rivista Significance. In base a tre valori (il numero normale N di reti segnate da una squadra standard nel corso di una partita standard e i livelli di forza A e B delle due squadre) viene decisa la composizione di due urne, che servono a simulare il numero di gol fatti dalle due squadre. Nella prima urna vengono inserite tante palle etichettate con il numero 0, tante con il numero 1, tante con il numero 2, eccetera, in modo che la media dei numeri interi marchiati sulle palle sia N × A/B; e analogamente per la seconda urna, dove la media deve essere N × B/A (nota tecnica: il numero di palle numerate inserite nelle urne segue la distribuzione di Poisson). Per esempio, supponiamo che N=1.5, A=2 e B=1. Allora in una ipotetica serie di scontri diretti tra le due squadre la media dei gol segnati dalla prima squadra è 1.5 × 2/1 = 3 e quella dei gol segnati dalla seconda è 1.5 × 1/2 = 0.75. Quindi, se A>B, allora è più facile che il numero estratto dalla prima urna sia maggiore di quello estratto dalla seconda, cioè che la prima squadra, più forte, segni un numero maggiore di gol e vinca. Tuttavia, per effetto della variabilità dei numeri marchiati sulle palle nelle due urne, rimane ovviamente possibile che i due numeri estratti siano uguali (ed ecco il pareggio) o che il numero estratto dalla seconda urna sia maggiore di quello estratto dalla prima (e cioè che vinca la seconda squadra, seppure meno forte). Questo semplice meccanismo rende possibile determinare senza difficoltà la probabilità di ciascun possibile risultato in una situazione ideale senza interferenza alcuna, dato le urne non possono parlare tra di loro e concordare i numeri da estrarre.
Per attribuire dei valori plausibili e coerenti a N, A e B, ho usato proprio le quotazioni dei bookmaker per tutti i risultati contemplati, riscalate dopo avere escluso quelle poco attendibili perché relative a punteggi particolarmente improbabili (dove le vincite erano superiori a 100 volte la posta).
In pratica mi sono servito di un algoritmo che ha determinato i valori di N, A e B in modo tale che le probabilità dei differenti risultati della partita calcolate in base al modello più si avvicinassero a quelle stabilite dai bookmaker (nota tecnica: tramite minimizzazione della divergenza di Kullback-Leibler tra le due serie di probabilità, che a meno dell’overround corrispondono ai reciproci degli odds, per tutti i 21 bookmaker in elenco, considerati alla pari). In particolare, l’insieme complessivo delle quotazioni indica che gli scommettitori giudicano il livello di forza della Spagna tra 1.2 e 1.4 volte quello della Croazia, a seconda dei diversi bookmaker. Ma le probabilità teoriche di un pareggio sono decisamente più basse di quelle dedotte dalle quotazioni dei bookmaker.
Nel grafico sottostante ho riportato le quotazioni dei risultati considerati più probabili secondo i bookmaker e quelle secondo il modello teorico appena descritto. Come si vede, il pareggio 2-2 ma anche quello 3-3 sono molto più scommessi, e quindi meno paganti, rispetto a quanto atteso, con una differenza in termini relativi di oltre il 100%. Le vincite medie per il 2-2 e per il 3-3 attualmente (i bookmaker le aggiornano in continuazione) sono rispettivamente a 5,9 e 22,4, mentre dovrebbero valere, sempre teoricamente, 12,5 e 47,8. Per il risultato 2-2 tali vincite corrispondono all’incirca alle due probabilità del 12% e del 6%: la differenza tra questi due valori può considerarsi in prima approssimazione una misura, secondo la globalità degli scommettitori, del risultato addomesticato. Inoltre, le quotazioni del 3-3 fanno supporre che se si arrivasse al 2-2 e una delle due squadre dovesse segnare ancora, allora il terzo gol dell’altra sarebbe fortemente preventivato. Ovviamente, non ho alcuna pretesa di fornire stime perfette: nell’impostare il mio lavoro ho usato un modello estremamente elementare, privilegiando la semplicità di esposizione alla raffinatezza dell’analisi.
