un anno di esponenziale: rassegna stampa

30/12/2022attualità, curiosità, facezie0

Articoli precedenti della serie:

Per concludere con leggerezza questa serie di puntate, presento una breve collezione di notizie, sempre tratte dalla cronaca dello scorso anno, dove la parola esponenziale figura, in maniera curiosa, o stravagante, o solo sciocca, senza averne alcun titolo.

Se nel 2020 il campionato era iniziato senza neanche un allenatore toscano, a dicembre 2021 il numero è aumentato in maniera esponenziale. [fonte]/

Aumentato sì, ma non certo in maniera esponenziale, dato che, per la natura moltiplicativa di una sequenza esponenziale, uno zero iniziale sarebbe seguito da tanti altri zeri.

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un anno di esponenziale: il mito della crescita impetuosa

29/12/2022metodi0

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Articoli precedenti della serie:

Gli specialisti in Intelligenza Artificiale sono la professione più in crescita negli Stati Uniti. Negli ultimi quattro anni, la richiesta di queste figure è aumentata in media del 74% l’anno. Questo significa che per ogni 100 posizioni aperte nel 2016, ora ce ne sono 900 (le meraviglie della crescita esponenziale…).
[fonte]

L’idea di una barriera di alberi che frena l’avanzata esponenziale del deserto, che dal 1920 ad oggi avrebbe esteso la sua superficie del 10 per cento
[fonte]

Ecco due brani che riportano il valore iniziale e quello finale di una crescita che si afferma essere esponenziale. Sarà veramente così? Impossibile dirlo senza conoscere tutti i valori intermedi, ma prendiamo la cosa per buona. A parte ciò, i due fenomeni descritti hanno tassi di crescita molto diversi: un +74% all’anno per il primo, un +0.0954% il secondo (1.000954¹⁰⁰≈1.1).

Questa forte differenza mi suggerisce un nuovo tema da discutere: come cambia una crescita esponenziale in relazione alla sua velocità?
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un anno di esponenziale: attenzione all’approssimazione

28/08/2022attualità, metodi0

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esponenziale: puntata quattro

Articoli precedenti della serie:

Nell’ultima puntata abbiamo visto che progressione lineare e progressione esponenziale sono profondamente diverse tra loro. Tuttavia, in qualche specifica situazione, la differenza a livello numerico può essere sottile. Il passo seguente, tratto da una raccolta di suggerimenti pubblicata proprio un anno fa, offre l’occasione ideale per discutere l’argomento.

Spesso il caldo eccessivo porta erroneamente ad impostare il frigorifero su temperature molto basse. Questa abitudine, tuttavia, comporta un aumento esponenziale del consumo energetico. Nel caso del frigorifero, la temperatura raccomandata è intorno ai 4°C: per ogni grado al di sotto il consumo sale del 5% e in ogni caso non sarebbe utile per la conservazione dei cibi che si congelerebbero. [fonte]

Ora, a chi non conosce il significato del termine esponenziale, può venire spontaneo calcolare come 1×5%=5%, 2×5%=10% e 3×5%=15% gli aumenti corrispondenti a 1, 2 e 3 gradi di differenza. Il che è equivalente a definire la sequenza di valori: 100%, 105%, 110%, 115%, e così via. In realtà un siffatta sequenza non è affatto esponenziale ma lineare, dato che sommiamo il 5% al consumo iniziale per ogni grado al di sotto di quello raccomandato.

Abbiamo imparato invece che una sequenza esponenziale comporta un calcolo moltiplicativo. Nel nostro caso, una differenza di 1, 2 e 3 gradi comporta un consumo pari al 105%, al 105% del 105% (cioè 105%×105%), e al 105% del 105% del 105% (cioè 105%×105%×105%) del valore iniziale.

Per capire cosa cambia numericamente passando dal primo al secondo schema, conviene eseguire le moltiplicazioni precedenti senza usare la calcolatrice, ma scrivendo prima 105% come 1.05=1+0.05 e applicando poi la regola per lo sviluppo delle potenze di un binomio. …

un anno di esponenziale: una questione lineare

28/02/2022attualità, metodi0

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Articoli precedenti della serie:

Di solito quando concepiamo o leggiamo una sequenza di numeri cerchiamo una regola che ci permetta di ricavare tutti i suoi termini, uno dopo l’altro.
Due tra le regole più semplici che si possono immaginare sono quelle che generano le progressioni aritmetiche (o lineari) e le progressioni geometriche (o esponenziali). Nelle prime, si passa da un termine al successivo sommando uno stesso valore costante; nelle seconde, si passa da un termine al successivo moltiplicandolo per uno stesso valore costante.
Per esempio: 1, 2, 3, 4, 5, 6 è una sequenza lineare che parte da 1 e a ogni passo aggiunge 1; 2, 5, 8, 11, 14, 17 è un’altra sequenza lineare che parte da 2 e a ogni passo aggiunge 3; mentre 1, 2, 4, 8, 16, 32 è la famosa sequenza esponenziale già più volte menzionata che parte da 1 e procede per raddoppi successivi, cioè aumentando ogni volta l’ultimo valore del 100%.

Anche nella realtà la misurazione di qualunque fenomeno a intervalli uguali nel tempo o nello spazio produce delle sequenze di numeri. Senza tuttavia avere la perfezione delle leggi delle sequenze che vivono nel mondo astratto dei modelli matematici. E tuttavia diventa naturale cercarvi comunque una qualche regolarità anche approssimativa, cominciando col verificare se i valori osservati seguono, pur con un certo margine di imprecisione, lo schema di una progressione lineare o esponenziale. Perché così diventa più facile interpretare e riassumere la sequenza di numeri osservati; basta citare la regola approssimativa che la descrive, dicendo: a ogni nuova osservazione si cresce/decresce all’incirca di tot, o di tot percento. …

un anno di esponenziale: erre-con-ti

13/02/2022attualità, metodi0

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Articoli precedenti della serie:

Abbiamo visto che il termine esponenziale è usato il più delle volte con estrema leggerezza, tanto da snaturare in un certo senso anche il suo significato colloquiale.

Esistono però dei casi in cui non si può prescindere dalla sua definizione matematica che, lo ripeto, prevede una sequenza di numeri ottenuti tramite moltiplicazione ripetuta per uno stesso fattore che rimane costante.

Gli indici r₀ ed r_t, diventati famosi per misurare la diffusione dei contagi da covid, rientrano a pieno titolo in questi casi.

Ricordo che l’indice r₀ indica il numero di persone che in media ogni infetto contagerebbe durante il periodo in cui può trasmettere la malattia, in una popolazione completamente suscettibile dove gli individui si comportano come sempre e non viene imposta alcuna misura di contenimento. …

un anno di esponenziale: non c’è senza tre

31/01/2022attualità, logica, metodi1

Articoli precedenti della serie:

prologo

Si dice che una rondine non fa primavera. Ma allora quante rondini fanno primavera? Ecco, una domanda analoga può valere anche a proposito del termine esponenziale: quanti numeri occorrono per parlare di crescita esponenziale?

Non si tratta di una questione accademica, tutt’altro. Nel primo articolo di questa serie abbiamo visto che per esponenziale si intende un cambiamento repentino e sostenuto, oppure percentualmente costante, ma che le due interpretazioni, risultando indipendenti l’una dall’altra, possono ingenerare confusione. Discutere del numero dei dati che articolisti e commentatori presentano come prova di uno sviluppo esponenziale è la maggior parte delle volte l’indicatore più utile per distinguere tra le due interpretazioni, ma non solo: aiuta a capire se davvero certe cifre meritano un’attenzione particolare, al di là degli appellativi con cui sono descritte.

Ecco a titolo di esempio gli estratti di alcune notizie pubblicate lo scorso anno. …

un anno di esponenziale: prologo

23/01/2022attualità, logica, metodi4

esponenziale: puntata zero

In base ai dati di google, nel 2019 risultano essere state pubblicate 50.100 pagine contenenti la parola esponenziale, salite nel 2020 a 86.200 e nel 2021 a 506mila. Una crescita sbalorditiva, forse anche sostenuta dai tanti articoli che in tempo di pandemia descrivono la diffusione dei contagi con questa parola.

L’uso sempre più esteso della parola ha coinvolto praticamente tutti i campi dell’informazione: dallo sport all’economia passando per mille discipline, nella cronaca spicciola come nei discorsi sui massimi sistemi, ogni statistica sembra buona per dichiarare esponenziale l’evoluzione di un qualche fenomeno.

Ma è davvero così? Cioè, cosa significa davvero la parola esponenziale? e quale dinamica descrive esattamente? …

ancora sulla legge dei contagi

22/01/2021attualità, probabilità, regole0

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Torno sull’argomento del mio ultimo articolo per fare alcune riflessioni che allora, per brevità, ho omesso.

Avevo spiegato che la relazione che lega il numero atteso di contagi a quello delle persone in un assembramento è all’incirca quadratica: a parità di condizioni, cioè di luogo, chiuso o aperto, e di rispetto o meno delle misure di protezione, raddoppiando il numero delle persone il numero atteso di contagi all’incirca quadruplica.

Con il termine atteso voglio dire che il numero di contagi va inteso come una media, che può assumere valori qualunque e non solo interi (analogamente a quando si dice che il numero di figli per donna è all’incirca 1,4), e, specialmente nel caso di gruppi di piccole dimensioni, anche valori molto al di sotto dell’unità. Per esempio, un numero medio di contagi pari a 0,01 (o 0,02) si può interpretare immaginando che cento riunioni dello stesso tipo producano complessivamente uno (o due) contagi.

La relazione quadratica tra contagi e dimensione di un gruppo di persone è conseguenza del fatto che ogni contatto tra due persone può tradursi in un contagio. Facciamo finta per semplicità che il contatto si traduca in una semplice stretta di mano: in un gruppo di 5 persone dove ciascuna da la mano alle altre 4, complessivamente le strette di mano sono 10 (la metà di 5×4=20 per non contare due volte quella tra Tizio e Caio o Caio e Tizio) mentre in un gruppo composto dal doppio delle persone, ovvero 10, dove ciascuna da la mano alle altre 9, le strette di mano diventano in totale 45 (la metà di 10×9=90). E 45 è poco più del quadruplo, ovvero il doppio del doppio, di 10. Questo stesso rapporto calcolato per le strette di mano vale pari pari anche per i contagi che ne possono derivare.

Ora, nel valutare il rischio insito nella socialità all’interno di un gruppo, similmente ad altre situazioni che ho già descritto, si possono considerare due differenti punti di vista: quello individuale e quello livello collettivo. …

la legge dei contagi

05/01/2021attualità, probabilità2

Se quest’anno dimezzo il numero di chilometri percorsi in automobile, mi aspetto di ridurre della metà anche le mie spese per il carburante. In una città che ha il doppio degli abitanti della nostra, senz’avere altre informazioni, è ragionevole pensare che ci sia all’incirca anche il numero doppio di campi da tennis. Aumentando di una qualunque percentuale il tempo trascorso su una piattaforma musicale o video, è naturale osservare un analogo incremento anche nel volume dei dati relativi allo straming.

Sono tutti esempi della relazione di proporzionalità lineare (o diretta), che è la più semplice e fors’anche la più diffusa. Ma non vale sempre e comunque. In precedenza per esempio ho spiegato perché può succedere che con il 5% dei treni che arrivano in ritardo, il 95% dei passeggeri lamenti l’assenza di puntualità, o perché con il 10% dei cittadini che usano l’app Immuni è normale che solo l’1% delle segnalazioni di positività sia riconducibile a essa.

Anche per i contagi in un assembramento, o più in generale in un qualunque gruppo di persone, che sia una classe di studenti, una tavolata di commensali, una riunione di colleghi, al crescere del numero di persone presenti, cresce anche il numero atteso di contagi. Rimane da capire quale tipo di proporzionalità leghi le due grandezze; ovvero se valga anche in questo caso la legge di proporzionalità lineare, come nei primi esempi, oppure no, come negli ultimi. …

assembramenti e contagi

05/01/2021attualità, probabilità0

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Quanti contagi si sviluppano in un assembramento, ma anche, più in generale, in una riunione di parenti, amici, o colleghi?

Dimentichiamoci per un momento della parola assembramento, che in questo contesto a qualcuno suggerirebbe di rispondere: tanti. Una risposta più generale, ma non generica, è: dipende. Infatti dipende da tanti elementi: di quante persone stiamo parlando, di quando, quanto e come stanno vicine, eccetera.

Possiamo allora affrontare il problema più formalmente, costruendo un modello, che sia insieme semplice e flessibile in modo da contemplare differenti scenari, e che ci permetta, attraverso il calcolo delle probabilità, di arrivare a dare una risposta plausibile alla domanda iniziale.

Avvertenza: questo è un articolo tecnico, scritto per i cultori di calcolo delle probabilità. Invito chi è interessato a una esposizione di livello divulgativo dello stesso argomento a leggere il mio articolo successivo. …